玉杂 | 小棍棍的数学大智慧“问君能有几多筹”
叮铃铃，
大家搬好小板凳，
拿好小本本，
准备好上课了吗？
大家在进行数学考试的时候，计算，验算，可以说是非常基础的部分了，我们在今天的数学学习中，可以轻而易举的用阿拉伯数字表示出需要的各种数值并用各类计算器来进行加减乘除的运算，大家有没有想过，在阿拉伯数字并未普及，先进的计算工具也没有出现的时代，人们要用什么工具，怎么进行数学计算呢？
今天就给大家介绍一件古代的计算工具，
有请我们今天的主角，
象牙算筹~
文物档案
朝代：汉朝
数据：长13.5厘米 直径0.4厘米
出土地点：陕西省旬阳县汉墓
有没有觉得很眼熟？
像不像我们现代的数学教具“数棍”呢？
1983年11月18日，陕西省旬阳县北部的佑圣宫后坪的变电所施工时发现了一座汉代墓葬，墓中出土了包括铜器、货币、长方形石砚等在内的二百多件文物，其中还有令人震撼的28枚整齐的象牙制算筹。
其实制作算筹的材料有很多，还有用金属、骨头等材料制造而成的，比如1975年湖北省云梦县城西郊睡虎地十一号秦墓中,出土了6枚长23.5厘米的竹算筹，1982年3月,在陕西省西安市东郊三店村一座西汉墓中,出土了20根(其中残断者18根)长约16厘米的铅算筹等。在古代，象牙非常稀少，十分贵重，几乎与金银玉等同。因此以象牙制成的算筹，尤为珍贵。
算筹是中国古代时期经过人民的漫长实践所创造出独特的计算工具，起初没有专门的算筹，而是用小树棍进行计算，后来才演变为固定的工具。
自古以来，中国就是一个农业大国。人们在进行农业生产时，需要掌握天文历法的知识，而研究天文历法又离不开数学计算，所以在古代中国，数学和天文历法知识一样受到人们的重视。临潼姜寨遗址出土的新石器时代中期陶器和陶器残片中，有一些上面留有刻画符号，关于这些刻画符号，现在众说纷纭，有说文字，也有说数字。我们推测其中一些符号有可能是表示数字，是数字的前身。
也就是说，从距今6000多年前的史前时代到汉晋时代，历史发展前进了4000多年漫长的演进，经历夏商西周、春秋战国、秦汉。数学在这个时候达到了一个高峰。
算筹创始的年代无法考证。从现存文献的记载和出土实物来看，至晚从春秋末期起，一直到元末，这一历史时期中国数学的主要计算工具是算筹。
南北朝时期的数学家祖冲之，就是使用算筹，成功地将圆周率计算到小数点后的第七位，这一成果也是中国古代最杰出的数学成就之一！
据老子《道德经》记载，“善计者不用筹策”，是指善于计算的人，可以不使用算筹，只用心算即可。从而表明，春秋战国时人们就已经较广泛地使用算筹了。
算筹进行计算的方法叫做筹算，采取的是十进位制，运用纵、横相间的数位表示法，即用纵式表示个位、百位、万位、百万，用横式表示十位、千位、十万、千万等。从左向右，纵横相间根据所表示的自然数不同来摆放。
筹算的计数法则：春秋时期的孙子，在谈算筹的法则时说：“一纵十横,百立千僵，千、十相望，万、百相当。”简单来说，个位纵代表一，十位横代表一，以此类推，纵横相间，遇零则空。
下面我们来看一看怎么用算筹表示不同的数字：
有没有理解呢？举个例子，2020的表达方法就是个位纵写，十位横写，百位纵写，千位横写，而个位和百位都是0，所以就可以写成
= =
（是不是还挺简单呢~）
如过要用算筹进行计算，也是要遵循以上法则的哦
让我们再一次大声读出来~
“一纵十横，百立千僵”
举个例子，我们要计算37+22=59
用算筹就可以表示成
（37+22=59）
大朋友小朋友们，
也可以用数棍试着来摆一摆哦~
再复杂一些的，大家准备好了吗？
家里有数棍的大朋友小朋友们，可以跟着一起做哦~
当我们进行523+649=1172的筹算步骤 :
第一步：上下各分别表示出523+649
第二步：百位相加5+6得11进一位到千位，得到结果1123+49
第三步：十位相加2+4得6，得到结果1163+9
第四步：个位相加3+9得12 进一位十位6加1得7 得到最终结果 1172
减法亦然：进行649-373=276的筹算步骤:
第一步：分别表示出649，373
第二步：百位相减6-3得3得到结果 349-73
第三步：十位相减4-7需退一位，百位得2，十位得7，得到结果279-3
第四步：个位相减9-3得到最终结果276
是不是觉得还挺简单？前方进入高阶模式预警……
筹算的乘法开始之前，
我们先来记一下乘法计算规则~
①置一数于上 ,一数于下;
②将下数左移 ,使下数末位与上数首位相齐 ;
③从左至右, 以上数首位遍乘下数各位,所得之积布于上数和下数之间 ,去上数首位数;
④下数左移一位, 再以上数的第二位数遍乘下数各位 ,并将所得之和依次加入中行 ;
⑤依前法而行 ,至上数尽,积便求得。
例如:47×69=3243的筹算步骤为:
第一步：分别表示出47，69
第二步：69左移，使得9与4对齐
第三步：上数首位乘下数个位结果相加写于两数中间即40*60=2400、40*9 =360，结果相加得2760写于中行
第四步：去掉上数首位，下数左移继续遍乘得7*60=420、7*9=63，相加得483写于中行
第五步：两次结果相加得3243
《孙子算经》卷上说 :
“凡除之法,与乘正异”,
意即:除法是乘法的逆运算,
其法如下：
①置实(被除数)于中, 法(除数)于下 ,商布于实上 ;
②先置法实首位相齐, 法首大于实首者,法向右移一位;
③以议得之商数遍乘法数各位 ,并以实中减去乘得之数;
④依次依法而行, 终于实小于法, 便是余数 , 余数为零便是实被法除尽。
例如 :4393÷78=56余25的筹算步骤为:
第一步：分别表示出4393 78
第二步：令4与7对齐，7大于4，7右移一位与3对齐,此处表示为780，估计初商（十位数）是 5。
第三步：初商与除数遍乘50*70=3500 50*8=400，得3500+400=3900从4393中减去3900得493。
第四步：此时继续计算493除以78,7小于4，除数再向右移一位，493/78 预估次商（个位数）为6。用次商6遍乘78，6*70=420，6*8=48得420+48=468，493-468=25，25小于78，所以25为余数，得到结果56余25
（小编有话说：大家有没有发现筹算顺位是从高位到低位，而不是我们今天的低位到高位，聪明的你知道原因吗？）
大家是不是已经头昏昏了，做到这里的你绝对是一个非常棒的同学，掌声送给你自己~
如果还没有get，
没关系，
再给大家讲个有趣的历史小故事吧~
《左传·襄公·襄公三十年》记载：三月癸未，晋悼夫人食舆人之城杞者。绛县人或年长矣，无子，而往与于食。有与疑年，使之年。曰：「臣小人也，不知纪年。臣生之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣，其季于今三之一也。」吏走问诸朝，师旷曰：「鲁叔仲惠伯会郤成子于承匡之岁也。是岁也，狄伐鲁。叔孙庄叔于是乎败狄于咸，获长狄侨如及虺也豹也，而皆以名其子。七十三年矣。」史赵曰：「亥有二首六身，下二如身，是其日数也。」士文伯曰：「然则二万六千六百有六旬也。」
这段故事的大意是说：襄公三十年时,晋悼公夫人在杞国请筑城的卒役吃饭,绛县有个无子供养的老人混迹其间,招待小吏见他如此老迈 ,深以为疑,便盘问其年龄,老人说:“敝人已记不起年龄了,但我记得我出生的日子刚好是正月初一,那日正值甲子,那以后我一共经历了四百四十五个甲子,不过最后这个甲子,我刚好过了三分之一”。小吏们忙去朝上请教,师旷回答道:他出生的年头正是鲁国的叔仲、惠伯和谷成子在承匡相会的那年,今己七十三岁了,史赵却说:“他说亥有二首六身,下面两段也都和它的身子一样,这也就是那老者已活的日数了。”聪明的士文伯马上反应道:这么说这老人不是已活了二万六千六百六十日了吗?
他们是怎么计算的呢？这里必须了解中国传统的甲子命日法和筹制计数。甲子计日以天干十数与地支十二数相配,便有六十日一轮回, 即为一甲子。老人实际上度过了444个甲子。其日数为:26660,岁数为73⅓。
而用筹制表示26660为“‖┸ ┰ ┸”故曰“二首六身,下二如身,是其日数”,即为:“亥”。这里需要注意的是,按照“一纵十横,百立千僵”的筹制计数原则,个位应是纵式,而纵式之六应是“ ┰”而不是“┸”,所以“亥”之二首六身所拆之“亥”,不是表示2666,而是后面还有一空位,即为26660。
这个故事不仅告诉我们,筹算在春秋战国时代已被广泛使用,而且再一次告诉我们,筹算的基本计数方法即以“十进制”为基本计数单位,采用“纵横交替”的筹算计数的基本方法。中国古代的筹算,实行完备的十进位制形式计数。这在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较,其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制,只有7个基本符号,如要记稍大一点的数目就相当因难;古美洲玛雅人虽然懂得位值制,但用的是20进位;古巴比伦人也知道位值制,但用的是60进位，今天的时钟60分钟一小时，就是60进位的遗留。20进位至少需要19个数码,60进位则需要59个数码,这就使记数和运算变得十分繁琐,远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制简捷方便。
中国古代数学之所以在计算方面取得了许多卓越的成就,在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。算筹在我国使用了2000多年,其作为计算工具解决过一般农业生产、人民生活方面的问题。但是筹算毕竟有不足之处:运算时占地方大、用筹多、取用麻烦、难免碰动,很易引起差错。我国从唐朝开始出现许多筹算速算法,宋朝又有不少运算口诀,这说明改革算具的要求已非常迫切,珠算就是在这些矛盾中逐渐形成。直到15世纪算盘推广以后,算筹才逐渐退出历史舞台。
以上就是今天的全部内容啦~
接下来是课堂检验环节，大家能算出下面这道题的答案吗，欢迎评论区互动留言哦~
校阅 审核：曹琳娜
文案 编辑：刘 素
特别感谢：刘 芃
视频：姜昊辰
参考文献：
中国筹算和《九章算术》中的程序思维 程开先
《古筹算考释》研究 王青建
我国古代算筹的应用 李中恢
“运筹”离不开的神奇小棍 齐吉祥 冯超
出土算筹考略 张沛
金银| 是时候亮出我的“走龙线”了
金银| 一条铜蚕见证一条丝路
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